I日本大学 2025年 数学 第I問解答・解説

第1問 (1) 左側の不等式は $$-x-5\le-3x+1\quad\text{すなわち}\quad x\le3,$$ 右側は $$-3x+1<3-x\quad\text{すなわち}\quad x>-1.$$ よって$A=\{x\mid -1<x\le3\}$。また $$x^2-7x-8=(x+1)(x-8)$$ なので$A\cup B=\{x\mid -1<x<8\}$である。$A\cap B=\varnothing$より、$B$は$\{x\mid -1<x<8\}$から$A$を除いた部分、すなわち$B=\{x\mid 3<x<8\}$。従って(1)の空欄は$3,8$。

(2) 平方完成すると $$f(x)=(x-a)^2-a^2+a+1$$ なので、$x$に関する最小値は$m=-a^2+a+1$。さらに $$\displaystyle m=-\left(a-\frac12\right)^2+\frac54$$ より、$a=1/2$のとき最大値$5/4$をとる。

(3) $$\log_{10}(30^{30})=30\log_{10}30 =30(1+\log_{10}3)=30(1.4771)=44.313.$$ 従って$10^{44}<30^{30}<10^{45}$であり、桁数は$44+1=45$桁。

(4) $z=\sqrt3+3i$の絶対値は$2\sqrt3$、偏角は$\pi/3$。したがって$z^2$の絶対値は$12$、偏角は$2\pi/3$である。一方、$1+i$の絶対値と偏角はそれぞれ$\sqrt2,\pi/4$だから $$\displaystyle \frac{(\sqrt3+3i)^2}{1+i} =6\sqrt2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac\pi4\right) +i\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac\pi4\right)\right) =6\sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right).$$ よって(4)の空欄は順に$6,2,5,1,2$。

(5) $\tan\alpha,\tan\beta$がともに正で$0<\alpha,\beta<\pi$なので、$\alpha,\beta$はいずれも第1象限にあり、$0<\alpha+\beta<\pi$。加法定理より $$\displaystyle \tan(\alpha+\beta) =\frac{\frac37+\frac25}{1-\frac37\cdot\frac25} =\frac{29/35}{29/35}=1.$$ $0<\alpha+\beta<\pi$の範囲で正接が$1$となるのは$\pi/4$だけなので、$\alpha+\beta=\pi/4$。従って最後の空欄は$1,4$。 $$\displaystyle \boxed{(1)\ 3,8;\quad(2)\ \frac54;\quad(3)\ 45;\quad (4)\ 6,2,5,1,2;\quad(5)\ \frac14}$$ 検算：(1) $\{x\mid -1<x\le3\}\cup\{x\mid 3<x<8\}=\{x\mid -1<x<8\}$で交わりは空。(2) $m(1/2)=5/4$。(3) 対数が$44$と$45$の間。(4) 絶対値は$12/\sqrt2=6\sqrt2$、偏角は$5\pi/12$。(5) 得た角は範囲内で正接も$1$。