東邦大学 2025年数学第4問解答・解説

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1問題

東邦大学2025年度第4問

$5^{100}$ は $\boxed{\text{アイ}}$ 桁の数である。ただし， $\log_{10}2=0.301$ とする。また，ある正の整数 $a$ について $a^{100}$ が85桁の数であるとき， $(5a^2)^{10}$ は $\boxed{\text{ウエ}}$ 桁の数である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

アイ $=70,\qquad$ ウエ $=24$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

正の整数 $x$ が $k$ 桁であることは $10^{k-1}\leq x<10^k$ と同値である。まず $\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.699$ だから、 $\log_{10}(5^{100})=100\cdot0.699=69.9$ 。従って $10^{69}<5^{100}<10^{70}$ となり、 $5^{100}$ は70桁である。次に、 $a^{100}$ が85桁である条件から $84\leq\log_{10}(a^{100})<85$ 。また、 $\displaystyle \log_{10}\bigl((5a^2)^{10}\bigr)=10\log_{10}5+20\log_{10}a=6.99+\frac15\log_{10}(a^{100})$ である。よってこの対数は $\displaystyle 6.99+\frac{84}{5}=23.79$ 以上、 $\displaystyle 6.99+\frac{85}{5}=23.99$ 未満である。したがって $10^{23}\leq(5a^2)^{10}<10^{24}$ となり、これは24桁である。

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