2群馬大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) $n^2\equiv0,1,4\pmod5$ なので、$a(n)=n^2+2\equiv2,3,1\pmod5$. よってa(n)は5の倍数でない。

(2) $b(n)=(n+45)(n^2+2)+675=(n+45)a(n)+675$ だから、 $\gcd(a(n),b(n))=\gcd(a(n),675)$. (1)より$5\nmid a(n)$であり、$675=27\cdot25$ なので $d(n)=\gcd(a(n),27)\leq27$。$n=5$では$a(5)=27$であり$d(5)=27$、したがって$d_0=27$。また$d(n)=27$となるには$27\mid a(n)$が必要である。$n=0,1,2,3,4$（0を自然数に含めない流儀では$1,2,3,4$）での$a(n)$はそれぞれ$2,3,6,11,18$でいずれも$27$の倍数でなく、$n=5$で$a(5)=27$だから最小の$n$は$5$。

(3) 対数の底変換から、与式Eは $$\displaystyle \begin{aligned} E&=\tfrac12\log_{3^{-1/2}}a(n)+2\log_9 b(n)+(m-1)\log_{3^{-1}}5\\ &=-\log_3 a(n)+\log_3 b(n)-(m-1)\log_3 5\\ &=\log_3\!\left(\frac{b(n)}{a(n)5^{m-1}}\right). \end{aligned}$$ これが自然数$k$なら、$m\geq1$では$\displaystyle \frac{b(n)}{a(n)}=3^k5^{m-1}$より$a(n)\mid b(n)$。$m=0$を自然数に含める場合は$\displaystyle \frac{5b(n)}{a(n)}=3^k$より$a(n)\mid5b(n)$であり、$5\nmid a(n)$とユークリッドの互除法（互いに素な因数を除く性質）からやはり$a(n)\mid b(n)$。 従って$d(n)=a(n)$, (2)より$a(n)=d(n)\mid27$。$a(n)=n^2+2\geq2$なので$a(n)$は$3,9,27$のいずれか。それぞれ$n^2=1,7,25$となるため、自然数$n$の候補は$n=1,5$（$a=9$は不可能）。 $n=1$では$a=3,b=813$で$b/a=271$。$m\geq1$なら$271=3^k5^{m-1}$は不可能（271は3,5で割れず1でもない）。$m=0$なら$1355=3^k$が必要だが、1355は5で割れるので不可能。 $n=5$では$a=27,b=2025$で$b/a=75$。$m\geq1$なら$75=3^k5^{m-1}$より$k=1,m-1=2$、すなわち$m=3$。$m=0$なら$375=3^k$となるが、375は5で割れるため不可能。実際$m=3$では$\displaystyle E=\log_3\left(\frac{2025}{27\cdot25}\right)=1$。以上から唯一の組は$(m,n)=(3,5)$。