6東北大学 2025年 数学 第6問解答・解説

(1) 正五角形の外接円半径を $R$、対角線を $d$ とする。 $$1=2R\sin36^\circ,\qquad d=2R\sin72^\circ=2\cos36^\circ.$$ 三倍角・二倍角の公式から $c=2\cos36^\circ$ は $c^2-c-1=0$ を満たす。正根をとり、 $$\displaystyle d=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

(2) 外接円中心から辺までの距離を $a$ とすると $a=1/(2\tan36^\circ)$。共通部分は、法線方向の間隔が $\theta$ と $72^\circ-\theta$ と交互になる10本の辺で囲まれる。隣り合う辺の交点までの距離から各辺の長さは $a(\tan(\theta/2)+\tan((72^\circ-\theta)/2))$。従って $$\displaystyle \ell_\theta=10a\left(\tan\frac\theta2+\tan\frac{72^\circ-\theta}{2}\right).$$ $u=\theta/2$ とおくと $0^\circ<u<36^\circ$ であり $$\displaystyle \tan u+\tan(36^\circ-u)=\frac{\sin36^\circ}{\cos u\cos(36^\circ-u)},\qquad \cos u\cos(36^\circ-u)=\frac{\cos36^\circ+\cos(2u-36^\circ)}2.$$ 分母は $u=18^\circ$ で最大なので、周長の最小は $\theta=36^\circ$ で達成される。さらに $\tan36^\circ=\sqrt5\tan18^\circ$ だから $$\displaystyle \min\ell_\theta=20a\tan18^\circ=10\frac{\tan18^\circ}{\tan36^\circ}=2\sqrt5.$$

正五角形の弦長から対角線を求める。共通部分を10本の支持直線が囲む十角形として、辺長を法線の角度差で表し、対称性と余弦積の最大化から周長の最小を示す。