5東北大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) 直線$\ell$上の点を$N+t(P-N)$と表すと、$(ta,tb,1+t(c-1))$である。$z=0$とおけば$t=1/(1-c)$だから $$\displaystyle Q=\left(\frac{a}{1-c},\frac{b}{1-c},0\right).$$

(2) 直線$m$上の点は$N+t((p,q,0)-N)=(tp,tq,1-t)$と表せる。球面上にある条件は $$t^2(p^2+q^2)+(1-t)^2=1\quad\text{すなわち}\quad t\{(1+p^2+q^2)t-2\}=0.$$ $t=0$は$N$であり、もう一つの交点では$t=2/(1+p^2+q^2)$。したがってその座標は $$\displaystyle \left(\frac{2p}{1+p^2+q^2},\frac{2q}{1+p^2+q^2},\frac{p^2+q^2-1}{1+p^2+q^2}\right).$$

(3) 平面$\alpha$の法線ベクトルは$(3,4,5)$なので、点$(0,0,1/2)$を通ることから $$\displaystyle 3x+4y+5\left(z-\frac12\right)=0.$$ いま$Q=(p,q,0)$とおき、(2)で求めた対応する球面上の点を$P=(a,b,c)$とする。すると $$\displaystyle 3a+4b+5c=\frac{6p+8q+5(p^2+q^2-1)}{1+p^2+q^2}.$$ したがって点 $P$ が平面 $\alpha$ 上にある条件は $$\displaystyle \frac{6p+8q+5(p^2+q^2-1)}{1+p^2+q^2}=\frac52\quad\text{すなわち}\quad 5p^2+12p+5q^2+16q-15=0.$$ 平方完成すると $$\displaystyle \left(p+\frac65\right)^2+\left(q+\frac85\right)^2=7.$$ (1)、(2)の対応は互いに逆であり、この式を満たす各$(p,q)$に対して対応する$P$は球面上かつ$\alpha$上にある。よって$Q$は中心$(-6/5,-8/5,0)$、半径$\sqrt7$の円周上を動く。