東北大学 2023年数学第3問解答・解説

数列

このページには広告が含まれます。

1問題

東北大学2023年度第3問

s を実数とし, 数列 $\{a_{n}\}$ を

$a _ {1} = s, \quad (n + 2) a _ {n + 1} = n a _ {n} + 2 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) $a_{n}$ を n と s を用いて表せ。

(2) ある正の整数 m に対して $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{m} a_{n} = 0$ が成り立つとする。s を m を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

漸化式の定数解1を引いて積の形に直して一般項を求め、部分分数分解した和で項を消去して条件式を解く。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\quad a_n=1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)},$
$\displaystyle (2)\quad s=\frac{1-m}{2}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned} (n+2)a_{n+1}=na_n+2 &\text{したがって} a_{n+1}-1=\frac{n}{n+2}(a_n-1).\\ \therefore\quad a_n-1 &=(s-1)\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+2} =(s-1)\frac{(n-1)!}{(n+1)!/2} =\frac{2(s-1)}{n(n+1)},\\ a_n&=1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)}.\\ \sum\limits _{n=1}^{m}a_n &=m+2(s-1)\sum\limits _{n=1}^{m}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\ &=m+2(s-1)\frac{m}{m+1} =\frac{m(m+2s-1)}{m+1}.\\ \sum\limits _{n=1}^{m}a_n=0,\quad m\text{ は正の整数} &\text{したがって} m+2s-1=0 \text{したがって} s=\frac{1-m}{2}. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

漸化式
総和記号と数列の和
階差・和の利用

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。