5東北大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) $\angle AOB=60^\circ$ および $|a|=2,\ |b|=3$ より $$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=|a||b|\cos60^\circ=3.$$ また $OC\perp AB$ なので $\overrightarrow c\cdot(\overrightarrow b-\overrightarrow a)=0$。したがって $$\overrightarrow c\cdot\overrightarrow a =\overrightarrow c\cdot\overrightarrow b=3.$$ (2) $\mathbf h=\overrightarrow{OH}$ とおく。$H$ は $C$ の平面 $OAB$ への垂線の足なので、$\mathbf h$ は $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ の一次結合であり、 $$\mathbf h\cdot\overrightarrow a=\overrightarrow c\cdot\overrightarrow a=3,\qquad \mathbf h\cdot\overrightarrow b=\overrightarrow c\cdot\overrightarrow b=3.$$ $\mathbf h=s\overrightarrow a+t\overrightarrow b$ とおけば $$4s+3t=3,\qquad 3s+9t=3,$$ ゆえに $\displaystyle s=\frac23,\ t=\frac19$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac23\overrightarrow a+\frac19\overrightarrow b. \tag{1}$$ (3) $\mathbf h$ を上のベクトルとし、$\displaystyle \mathbf m=\mathbf h+\frac29\overrightarrow c$ とおく。まず $$\displaystyle \mathbf h\cdot\overrightarrow a=\mathbf h\cdot\overrightarrow b=3,\qquad \mathbf h\cdot\overrightarrow c =\frac23(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow c) +\frac19(\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c) =\frac73.$$ よって $$\mathbf m\cdot(\overrightarrow b-\overrightarrow a)=0,$$ また $$\displaystyle \mathbf m\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow a) =\left(\frac73-3\right)+\frac29(6-3)=0.$$ したがって $\mathbf m$ は平面 $ABC$ に垂直である。さらに $q=\mathbf m\cdot\overrightarrow a$ とおくと $$\displaystyle q=3+\frac29\cdot3=\frac{11}{3}.$$ 垂直性から $\mathbf m\cdot\overrightarrow a=\mathbf m\cdot\overrightarrow b=\mathbf m\cdot\overrightarrow c=q$ であり、 $$\displaystyle \mathbf m\cdot\mathbf h =\frac23q+\frac19q=\frac79q,\qquad |\mathbf m|^2 =\mathbf m\cdot\left(\mathbf h+\frac29\overrightarrow c\right)=q =\mathbf m\cdot\overrightarrow a.$$ このため位置ベクトル $\mathbf m$ の終点は平面 $ABC$ 上にあり、$\overrightarrow{OK}=\mathbf m$。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{HK} =\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OH} =\mathbf m-\mathbf h =\frac29\overrightarrow c,$$ したがって $\overrightarrow{HK}$ と $\overrightarrow c$ は平行である。