6東北大学 2023年 数学 第6問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad f'(x)=-\frac12+\frac{24}{(6x+1)^2}. \quad f'(x)=1 \text{ の必要十分条件は }(6x+1)^2=16. \quad x>0\text{ より }x=\frac12. \quad f\!\left(\frac12\right)=-\frac54 \text{ なので、接線は } y+\frac54=x-\frac12,\text{ すなわち }y=x-\frac74. \text{(2)}\quad 0\le t\le2,\quad 0\le s\le1 \text{ とおくと、線分上の点は } (x,y)=(t+s,f(t)+s). \text{ ここで }X=x,\ U=y-x\text{ とおけば } t\le X\le t+1,\quad U=g(t):=f(t)-t=-\frac32t-\frac4{6t+1}. \text{ 固定した }X\text{ では、}U=Y-X\text{ は縦断面を上下に平行移動するだけで長さを変えない。したがって、縦断面の長さを }X\text{ で積分した面積も変わらない。} g'(t)=-\frac32+\frac{24}{(6t+1)^2}. \text{ よって }g\text{ は }0\le t\le\frac12\text{ で増加、}\frac12\le t\le2\text{ で減少し、} g(0)=-4,\quad g\!\left(\frac12\right)=-\frac74,\quad g(2)=-\frac{43}{13}. \text{ 二枝の値が一致する }g(t)=g(t+1)\text{ は } (6t+1)(6t+7)=16\text{ より }t=\frac16, \text{ したがって対応する高さは }g(\frac16)=-\frac94\text{ である。} \text{ これにより }(X,U)\text{ 平面の高さ }U\text{ における横断面長 }L(U)\text{ は} \begin{cases} 1,&-4\le U<-\frac{43}{13},\\ 2,&-\frac{43}{13}\le U<-\frac94,\\ 1+t_2(U)-t_1(U),&-\frac94\le U\le-\frac74, \end{cases} \text{ となる。ここで }t_1,t_2\text{ はそれぞれ }g\text{ の増加枝・減少枝の逆関数である。} \text{ 上の記述が概形を定め、元の座標には }y=X+U\text{ で戻す。} \begin{aligned} \operatorname{Area}(S) &=\int_{-4}^{-43/13}1\,dU +2\int_{-43/13}^{-9/4}1\,dU +\int_{-9/4}^{-7/4}\bigl(1+t_2(U)-t_1(U)\bigr)\,dU,\\ \int_{-9/4}^{-7/4}(t_2-t_1)\,dU &=\int_{7/6}^{1/2}t g'(t)\,dt-\int_{1/6}^{1/2}t g'(t)\,dt =-\int_{1/6}^{7/6}t g'(t)\,dt. \end{aligned} \text{ ここで } \int t g'(t)\,dt=-\frac34t^2+\frac23\ln(6t+1)+\frac{2}{3(6t+1)}. \text{ よって上の差は }\frac54-\frac43\ln2\text{ であり、} \operatorname{Area}(S) =\frac9{13}+\frac{55}{26}+\frac12+\frac54-\frac43\ln2 =\frac{237}{52}-\frac43\ln2.$$