4東北大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $a=(\sqrt5-1)/2$ だから $a^2+a=1$ である。積を展開すると $$\begin{aligned} (x^2-ax+1)(x^2+(a+1)x+1) &=x^4+x^3+(2-a^2-a)x^2+x+1\\ &=x^4+x^3+x^2+x+1. \end{aligned}$$ したがって $x^4+x^3+x^2+x+1$ は $f(x)$ で割り切れる。

(2) $f(\alpha)=0$ であることと (1) から $$\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0.$$ この式に $\alpha-1$ を掛けると $\alpha^5-1=0$。$\alpha$ は虚部が正なので $\alpha\ne1$ であり、結局 $\alpha^5=1$。

極形式を $\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)$、$r>0$、$0<\theta<\pi$ とする。ド・モアブルの定理から $r^5=1$ なので、問題文で許された事実より $r=1$。また $f(\alpha)=0$ を $\alpha$ で割ると $\alpha+\alpha^{-1}=a$。$r=1$ より $\alpha^{-1}=\overline\alpha$ だから $2\cos\theta=a>0$。さらに $\alpha^5=1$ から $\theta=2k\pi/5$（$k=1,2$）であり、$\cos\theta>0$ となるのは $k=1$ の場合だけである。よって $$\displaystyle \alpha=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}=e^{2\pi i/5}.$$

(3) $2023=5\cdot404+3$ であり $\alpha^5=1$ だから $$\alpha^{2023}+\alpha^{-2023}=\alpha^3+\alpha^2.$$ また $\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0$ および $\alpha+\alpha^{-1}=a$（すなわち $\alpha+\alpha^4=a$）より $$\displaystyle \alpha^2+\alpha^3=-1-a=-\frac{\sqrt5+1}{2}.$$