東北大学 2023年数学第1問解答・解説

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1問題

東北大学2023年度第1問

赤玉4個と白玉5個の入った，中の見えない袋がある。玉はすべて，色が区別できる他には違いはないものとする。A，Bの2人が，Aから交互に，袋から玉を1個ずつ取り出すゲームを行う。ただし取り出した玉は袋の中に戻さない。Aが赤玉を取り出したらAの勝ちとし，その時点でゲームを終了する。Bが白玉を取り出したらBの勝ちとし，その時点でゲームを終了する。袋から玉がなくなったら引き分けとし，ゲームを終了する。

(1) このゲームが引き分けとなる確率を求めよ。

(2) このゲームに A が勝つ確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad \frac{1}{126}\qquad$ (2) $\displaystyle \quad \frac{38}{63}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 引き分けには、Aの5回の番がすべて白、Bの4回の番がすべて赤でなければならない。赤玉4個の位置は全部で $\displaystyle \binom94=126$ 通りあり、どれも同確率である。引き分けの色列は白、赤、白、赤、白、赤、白、赤、白の1通りだから、確率は $1/126$ である。

(2) Aが勝つのは、第1、3、5、7手で初めて赤玉を引く場合である。それまでAは白、Bは赤を引いている必要がある。それぞれの確率は $\displaystyle p_1=\frac49,\quad p_3=\frac59\frac48\frac37=\frac5{42},\quad p_5=\frac59\frac48\frac47\frac36\frac25=\frac2{63},$ $\displaystyle p_7=\frac59\frac48\frac47\frac36\frac35\frac24\frac13=\frac1{126}.$ 第9手まで続けば、赤玉4個はすべてBが引いておりAは勝てない。これらは互いに排反であるから、求める確率は $\displaystyle \frac49+\frac5{42}+\frac2{63}+\frac1{126}=\frac{38}{63}.$

この問題で使う考え方

組合せ
無復元抽出
排反事象の加法

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