4久留米大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) 条件を満たす自然数は $2^u3^v$（$u,v$ は正の整数）と書ける。正の約数の個数が $12$ 個なので $$(u+1)(v+1)=12.$$ $u+1,v+1\geq2$ であるから、可能な順序付きの組は $$(u+1,v+1)=(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$$ の4通りである。したがって $\boxed{\text{あ}}=4$。

(2) 素因数分解を $\displaystyle n=\prod p_j^{e_j}$ とすると、正の約数の個数は $\displaystyle \prod(e_j+1)$ である。これが $12$ となる指数の組は、素因数の順を除けば $$(11),\qquad(5,1),\qquad(3,2),\qquad(2,1,1)$$ である。同じ指数の組では、大きい指数を小さい素数に割り当てると数が最小になる。各組での最小値は順に $$2^{11}=2048,\qquad 2^5\cdot3=96,\qquad 2^3\cdot3^2=72,\qquad 2^2\cdot3\cdot5=60.$$ よって最小の自然数は $60$ である。その正の約数の総和は $$(1+2+2^2)(1+3)(1+5)=7\cdot4\cdot6=168.$$ したがって $\boxed{\text{いう}}=60,\ \boxed{\text{えおか}}=168$。

(3) 指数の組が $(11)$ または $(5,1)$ なら自然数はそれぞれ $2048$ 以上、$96$ 以上である。$(3,2)$ では最小値が $72$ であり、次の候補も $2^2\cdot3^3=108$ 以上となる。$(2,1,1)$ では最小値 $60=2^2\cdot3\cdot5$ の次は $2^2\cdot3\cdot7=84$ である。実際、指数 $2$ を $3$ に割り当てる場合は少なくとも $2\cdot3^2\cdot5=90$、$5$ 以上の素数に割り当てる場合は少なくとも $2\cdot3\cdot5^2=150$ となる。したがって、12個の約数をもつ自然数を小さい順に並べた最初の三つは $60,72,84$ であり、三番目は $84$ である。

$$84=2^2\cdot3\cdot7$$ の正の約数を小さい順に並べると $$1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84$$ である。8番目は $14$ なので、$\boxed{\text{きく}}=84,\ \boxed{\text{けこ}}=14$。