2久留米大学 2021年 数学 第2問解答・解説

円 $C$ の方程式を平方完成すると $$(x-2)^2+(y+1)^2=9$$ となるので、中心は $O(2,-1)$、半径は $3$ である。

(1) 直線 $\ell:2x+y-5=0$ と中心 $O$ との距離は $$\displaystyle \frac{|2\cdot2+(-1)-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt5}.$$ したがって、円の中心から弦までの垂線が弦を二等分することより、弦の長さは $$\displaystyle 2\sqrt{3^2-\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2} =2\sqrt{\frac{41}{5}}=\frac{2\sqrt{205}}{5}.$$ また、弦の中点 $M$ は $O$ から $\ell$ に下ろした垂線の足である。法線ベクトル $(2,1)$ を用いると $$\displaystyle M=(2,-1)-\frac{2\cdot2+(-1)-5}{2^2+1^2}(2,1) =\left(\frac{14}{5},-\frac{3}{5}\right).$$ よって $\boxed{\text{チ}}=2,\ \boxed{\text{ツテト}}=205,\ \boxed{\text{ナ}}=5,\ \boxed{\text{ニヌ}}=14,\ \boxed{\text{ネ}}=5,\ \boxed{\text{ノハ}}=-3,\ \boxed{\text{ヒ}}=5$ である。

(2) $\ell$ と $C$ の交点を通る円は、実数 $\lambda$ を用いて $$x^2+y^2-4x+2y-4+\lambda(2x+y-5)=0$$ と表せる。実際、この式は $C$ の式に $\lambda\ell$ の左辺を加えたものであり、$C$ と $\ell$ の交点では両項がともに $0$ となる。また、二つの交点を通る円の方程式と $C$ の方程式との差はその二点を通る一次式なので、直線 $\ell$ の定数倍であり、この形ですべての円を表せる。

平方完成すると $$\displaystyle \left(x-(2-\lambda)\right)^2+ \left(y+1+\frac{\lambda}{2}\right)^2 =9+2\lambda+\frac{5}{4}\lambda^2$$ となるから、中心の $x$ 座標は $2-\lambda$、半径の二乗は $\displaystyle 9+2\lambda+\frac54\lambda^2$ である。$y$ 軸に接する条件は半径が中心から $y$ 軸までの距離 $|2-\lambda|$ に等しいことだから $$\displaystyle (2-\lambda)^2=9+2\lambda+\frac54\lambda^2,$$ すなわち $\lambda^2+24\lambda+20=0$。よって $$\lambda=-12\pm2\sqrt{31}.$$ 対応する中心の $x$ 座標は $14\mp2\sqrt{31}$ であり、半径はそれぞれこの正の値に等しい。$14-2\sqrt{31}<14+2\sqrt{31}$ なので、半径が小さい方の中心の $x$ 座標は $$14-2\sqrt{31}$$ である。したがって $\boxed{\text{フヘ}}=14,\ \boxed{\text{ホ}}=2,\ \boxed{\text{マミ}}=31$。