6久留米大学 2021年 数学 第6問解答・解説

$q(x)=x^2-x-3$ とおくと $f(x)=|q(x)|$ である。内側の二つの絶対値が変わる点は $$\displaystyle \frac32x+3=0\text{、すなわち} x=-2,\qquad \frac32x-10=0\text{、すなわち} x=\frac{20}{3}.$$ 各区間で整理すると $$\displaystyle g(x)= \begin{cases} 13,&x<-2,\\ |3x-7|,&-2\leq x\leq\frac{20}{3},\\ 13,&x>\frac{20}{3}. \end{cases}$$ 中区間ではさらに $x=7/3$ で $3x-7$ の符号が変わる。

(1) $x<-2$ では $$q(x)=x^2-x-3=(x+2)(x-3)+3>0,$$ したがって $f(x)=q(x)$、また $g(x)=13$ である。共有点は $$\displaystyle x^2-x-3=13\text{、すなわち} x=\frac{1\pm\sqrt{65}}{2}$$ を満たす。このうち $x<-2$ なのは $(1-\sqrt{65})/2$ だけなので、共有点は1個であり、$\boxed{\text{つ}}=1$。

(2) まず $-2\leq x\leq7/3$ では $g(x)=7-3x\geq0$ であるから、 $$|q(x)|=7-3x$$ を解く。これは $q(x)=7-3x$ または $q(x)=-(7-3x)$ と同値であり、 $$x=-1\pm\sqrt{11}\quad\text{または}\quad (x-2)^2=0.$$ この範囲に入る解は $-1+\sqrt{11}$ と $2$ である。実際、$3<\sqrt{11}<10/3$ より $2<-1+\sqrt{11}<7/3$、また $2$ も区間内にある。

次に $7/3\leq x\leq20/3$ では $g(x)=3x-7$ である。また $$q(x)=q(7/3)+(x-7/3)(x+4/3)>0$$ なので $f(x)=q(x)$。方程式 $q(x)=3x-7$ の解は $x=2$ だけだが、この区間には入らない。

最後に $x\geq20/3$ では $g(x)=13$。この範囲では $q(20/3)=313/9>13$ であり、$x_2>x_1\geq20/3$ なら $$q(x_2)-q(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1-1)>0$$ だから $q(x)>13$、共有点はない。したがって $x\geq-2$ にある共有点は $x=2$ と $x=-1+\sqrt{11}$ の2個である。(1)の1個を合わせると全体では3個であり、最大の $x$ 座標は $-1+\sqrt{11}$ である。よって $\boxed{\text{て}}=3,\ \boxed{\text{とな}}=-1,\ \boxed{\text{にぬ}}=11$。

各候補を元の式に代入すると、$x=(1-\sqrt{65})/2$ では $g=13=f$、$x=2$ では $f=g=1$、$x=-1+\sqrt{11}$ では $f=g=10-3\sqrt{11}$ となり、いずれも範囲条件を満たす。