10自治医科大学 2009年 数学 第10問解答・解説

余弦定理より、$$\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cdot\frac{1}{2}=49,$$ したがって $BC=7$ である。また、$$\displaystyle S_1=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\frac{1}{2}\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}.$$ 内心 $I$ から各辺までの距離は等しいので、その距離を $r$ とおくと、三角形 $ABC$ を $ABI, BCI, CAI$ に分けて$$\displaystyle S_1=\frac{1}{2}r(AB+BC+CA)=\frac{1}{2}r(8+7+5)=10r.$$ よって $r=\sqrt{3}$ であり、$$\displaystyle S_2=[BCI]=\frac{1}{2}BC\cdot r=\frac{7\sqrt{3}}{2}.$$ したがって、$$\displaystyle \frac{7S_1}{10S_2}=\frac{7\cdot10\sqrt{3}}{10\cdot\frac{7\sqrt{3}}{2}}=2.$$ よって答えは $2$（選択肢サ）である。