12自治医科大学 2009年 数学 第12問解答・解説

放物線と円の共有点の $x$ 座標を $x$ とすると、円の方程式に $y=kx^2-3$ を代入して $$x^2+(kx^2-3)^2=9, \qquad x^2\bigl(k^2x^2+1-6k\bigr)=0$$ を得る。$x=0$ は $P$ であり、他の2点では $$\displaystyle x=\pm a,\qquad a^2=\frac{6k-1}{k^2}>0$$ となる。ここで $\displaystyle k>\frac16$ より $k>0$ である。したがって、交点を $\displaystyle Q=(a,3-\frac1k)$、$\displaystyle R=(-a,3-\frac1k)$ とおける。また、$P$ から直線 $QR$ までの距離を $h$ とすると $$\displaystyle h=3-\frac1k+3=6-\frac1k=ka^2>0.$$ よって $PQ=PR=\sqrt{a^2+h^2}$、$QR=2a$ である。三角形 $PQR$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle \cos\angle RPQ =\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2\,PQ\cdot PR} =\frac{h^2-a^2}{h^2+a^2}.$$ 角が $30^\circ$ なので、$\displaystyle z=\frac{h}{a}>0$ とおけば $$\displaystyle \frac{z^2-1}{z^2+1}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad (2-\sqrt3)z^2=2+\sqrt3, \qquad z^2=7+4\sqrt3.$$ 正の平方根をとって $z=2+\sqrt3$。一方、$h=ka^2$ より $z=ka$ であり、$a^2=(6k-1)/k^2$ だから $z^2=6k-1$ である。従って $$\displaystyle 6k-1=7+4\sqrt3, \qquad k=\frac{4+2\sqrt3}{3}.$$ これを求める式に代入すると $$\displaystyle \left(\frac32k-2\right)^2 =\left(2+\sqrt3-2\right)^2=3.$$ 以上より、求める値は $3$（選択肢タ）である。