14自治医科大学 2009年 数学 第14問解答・解説

$\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1$ なので、直線 $L$ の法線係数の長さは $1$ である。円 $C$ の中心は原点、半径は $\sqrt2$ である。点と直線の距離の公式から原点と $L$ の距離は $\displaystyle \frac12$ となる。この距離は円の半径より小さいので、$L$ と円の交点は常に異なる2点である。円の中心から弦 $PQ$ に下ろした垂線は弦を二等分するため、三平方の定理より $$\displaystyle \left(\frac{PQ}{2}\right)^2=(\sqrt2)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac74, \qquad PQ=\sqrt7.$$ 点 $A=(0,3)$ から $L$ までの距離を $d$ とする。点と直線の距離の公式より $$\displaystyle d=\frac{|(\cos\theta)\cdot0+(\sin\theta)\cdot3-\frac12|}{\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}} =\left|3\sin\theta-\frac12\right|.$$ $-1\leq\sin\theta\leq1$ より $$\displaystyle d\leq\frac72,$$ 等号は $\sin\theta=-1$、すなわち $\theta=270^\circ$ のときに成り立つ。したがって、三角形の面積の最大値は $$\displaystyle M=\frac12\,PQ\cdot\frac72=\frac{7\sqrt7}{4}.$$ よって $$\displaystyle \frac{4M}{\sqrt7}=7.$$ 以上より、求める値は $7$（選択肢ヤ）である。