8自治医科大学 2009年 数学 第8問解答・解説

$AB=BC$ より、二等辺三角形 $ABC$ の底角は等しく、$\angle ACB=\angle CAB=\theta$ である。また $\cos\theta=2/\sqrt{5}$ だから、$\sin\theta=1/\sqrt{5}$ である。$B$ から $AC$ に下ろした垂線は $AC$ を二等分するので、$$\displaystyle AC=2AB\cos\theta=2\sqrt{20}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=8.$$ よって、$$\displaystyle [ABC]=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\theta=\frac{1}{2}\sqrt{20}\cdot8\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=8,\qquad [ADC]=2[ABC]=16.$$ ここで $\phi=\angle DAC$ とおく。三角形 $ADC$ の面積より、$$\displaystyle 16=\frac{1}{2}AD\cdot AC\sin\phi=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{20}\cdot8\sin\phi=16\sqrt{5}\sin\phi,$$ したがって $\sin\phi=1/\sqrt{5}=\sin\theta$ である。四角形 $ABCD$ は凸であり、$B,D$ は対角線 $AC$ の反対側にある。したがって $\angle DAB=\phi+\theta<\pi$ である。$0<\theta<\pi/2$ と $0<\phi<\pi$ より、$\sin\phi=\sin\theta$ から $\phi=\theta$ または $\phi=\pi-\theta$ だが、後者は $\phi+\theta=\pi$ となって不適である。ゆえに $\phi=\theta$。余弦定理を三角形 $ADC$ に用いると、$$\displaystyle CD^2=AD^2+AC^2-2AD\cdot AC\cos\phi=80+64-2\cdot2\sqrt{20}\cdot8\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=16.$$ 長さは正なので $CD=4$。よって答えは $4$（選択肢ナ）である。