4帝京大学 2009年 数学 第4問解答・解説

水平面を基準に高さを考える。$CB=x>0$ とおくと、仰角の条件から $$\displaystyle AC=\frac{AP}{\tan45^\circ}=1,\qquad BQ=CB\tan60^\circ=\sqrt3x.$$ したがって $$CP=\sqrt{AC^2+AP^2}=\sqrt2,\qquad CQ=\sqrt{CB^2+BQ^2}=2x.$$ また、$BR=AP=1$ なので $P$ と $R$ は同じ高さにあり、水平面上の距離から $$PR^2=AC^2+CB^2=1+x^2,\qquad QR^2=(BQ-BR)^2=(\sqrt3x-1)^2.$$ $\angle PRQ=90^\circ$ より $$PQ^2=PR^2+QR^2=4x^2-2\sqrt3x+2. \tag{2}$$

(1) $\triangle PCQ$ に余弦定理を用いると $$PQ^2=CP^2+CQ^2-2\cdot CP\cdot CQ\cos\angle PCQ =2+4x^2-4\sqrt2\,x\cos\angle PCQ.$$ よって $\text{ア}=4\sqrt2$、(2)より $\text{イ}=2\sqrt3$ である。二つの $PQ^2$ の式を等しくすると $$-4\sqrt2\,x\cos\angle PCQ=-2\sqrt3\,x.$$ $x>0$ だから $$\displaystyle \cos\angle PCQ=\frac{\sqrt6}{4},$$ したがって $\text{ウ}=\sqrt6/4$ である。

(2) $\angle PCQ$ は三角形の内角なので正弦は正であり、 $$\displaystyle \sin\angle PCQ=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt6}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}4.$$ したがって $$\displaystyle [\triangle PQC]=\frac12\cdot\sqrt2\cdot2x\cdot\frac{\sqrt{10}}4 =\frac{\sqrt5}{2}x,\qquad [\triangle ABC]=\frac12\cdot AC\cdot CB=\frac{x}{2}.$$ 面積の比は $\sqrt5$ だから、$\text{エ}=\sqrt5$ である。

(3) (2)の式を平方完成すると $$\displaystyle PQ^2=4x^2-2\sqrt3x+2 =4\left(x-\frac{\sqrt3}{4}\right)^2+\frac54.$$ $x>0$ であり、平方項が0となる $x=\sqrt3/4$ は許される（このとき $R$ は $BQ$ の延長上にある）。よって $PQ$ は $CB=x=\sqrt3/4$ のとき最小となり、最小値は $\sqrt{5}/2$ である。したがって $\text{オ}=\sqrt3/4,\ \text{カ}=\sqrt5/2$ である。