3帝京大学 2009年 数学 第3問解答・解説

正方形をつくるひもの長さを $a$、円をつくるひもの長さを $b$ とする。正方形の一辺は $\displaystyle \dfrac a4$、円の半径は $\displaystyle \dfrac b{2\pi}$ だから、それぞれの面積は $$\displaystyle S_{\square}=\frac{a^2}{16},\qquad S_{\circ}=\pi\left(\frac b{2\pi}\right)^2=\frac{b^2}{4\pi}.$$

(1) 2本のひもの長さが等しく $a=b=\ell$ なら、 $$\displaystyle \frac{S_{\square}}{S_{\circ}}=\frac{\ell^2/16}{\ell^2/(4\pi)}=\frac\pi4$$ より、面積の比は $\pi:4$ である。次に面積が等しいとすると $$\displaystyle \frac{a^2}{16}=\frac{b^2}{4\pi} \quad\text{ならば}\quad \pi a^2=4b^2 \quad\text{ならば}\quad \frac ba=\frac{\sqrt\pi}{2}.$$ よって、ひもの長さの比は $\displaystyle a:b=1:\dfrac{\sqrt\pi}{2}$ である。

(2) 正方形の一辺を $s$、円の半径を $r$ とする。正方形が円に内接するとき、正方形の対角線は円の直径だから、ピタゴラスの定理より $s\sqrt2=2r$。したがって周の長さの比は $$4s:2\pi r=4\sqrt2 r:2\pi r=2\sqrt2:\pi.$$ 正方形が円に外接するときは $s=2r$ なので、 $$4s:2\pi r=8r:2\pi r=4:\pi.$$ 従って $\text{ウ}=2\sqrt2,\ \text{エ}=4$。

(3) ひも全体の長さを $L$ とすると $a+b=L$。このとき面積の和は $$\displaystyle \begin{aligned} S_{\square}+S_{\circ} &=\frac{a^2}{16}+\frac{(L-a)^2}{4\pi}\\ &=\frac{\pi+4}{16\pi}\left(a-\frac{4L}{\pi+4}\right)^2+\frac{L^2}{4(\pi+4)}. \end{aligned}$$ 平方の項が0となるとき最小であり、$\displaystyle a=\dfrac{4L}{\pi+4}$、$\displaystyle b=L-a=\dfrac{\pi L}{\pi+4}$ となる。よって長さの比は $a:b=4:\pi$ であり、$\text{オ}=4$。