5奈良県立医科大学 2016年 数学 第5問解答・解説

図のように長方形の下辺が $AB$ 上にあり、上辺が $AB$ に平行であるとする。$C$ から直線 $AB$ に垂線 $CH$ を下ろす。辺の長さから $$52^2<25^2+63^2,\qquad 25^2<63^2+52^2$$ であるので、$\angle A,\angle B$ はともに鋭角であり、垂線の足 $H$ は辺 $AB$ 上にある。$AH=x$、$CH=h$ とおけば $BH=63-x$ である。直角三角形 $ACH$、$BCH$ で三平方の定理を用いると $$x^2+h^2=25^2,\qquad (63-x)^2+h^2=52^2.$$ 後の式から前の式を引いて $$(63-x)^2-x^2=52^2-25^2=2079,$$ したがって $3969-126x=2079$ より $x=15$。よって $$h^2=25^2-15^2=400,$$ ゆえに三角形の高さは $h=20$ である。

長方形の高さを $t$ とする。$0\le t\le20$ であり、高さ $t$ のところで $AB$ に平行に切った線分と、頂点 $C$ を頂点とする小三角形は、もとの三角形と相似である。その小三角形の高さは $20-t$ だから、切り口の長さを $w$ とすると $$\displaystyle \frac{w}{63}=\frac{20-t}{20},\qquad w=\frac{63(20-t)}{20}.$$ 高さ $t$ の長方形の横幅はこの切り口の長さ以下であり、両端を $CA,CB$ 上に取れば等号が成り立つ。したがって面積の最大値は $$\displaystyle S(t)=\frac{63}{20}t(20-t) =315-\frac{63}{20}(t-10)^2\le315.$$ $t=10$ とすれば上辺の幅は $63/2$ となり、この等号が実現する。よって求める最大値は $315$ である。