15奈良県立医科大学 2016年 数学 第15問解答・解説

与えられた5組のデータについて、$\displaystyle \bar{x}=\frac{8+4+2+6+10}{5}=6$、$\displaystyle \bar{y}=\frac{4+5+6+3+2}{5}=4$ である。したがって、偏差はそれぞれ $$(x_i-\bar{x})=(2,-2,-4,0,4),\qquad (y_i-\bar{y})=(0,1,2,-1,-2)$$ となり、 $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^5(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=-18,\quad \sum\limits _{i=1}^5(x_i-\bar{x})^2=40,\quad \sum\limits _{i=1}^5(y_i-\bar{y})^2=10.$$ よって相関係数は $$\displaystyle r=\frac{\sum\limits _{i=1}^5(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum\limits _{i=1}^5(x_i-\bar{x})^2\sum\limits _{i=1}^5(y_i-\bar{y})^2}}=\frac{-18}{\sqrt{40\cdot10}}=-\frac{9}{10}.$$ なお、$\displaystyle \sum x_i=30,\sum y_i=20,\sum x_i y_i=102,\sum x_i^2=220,\sum y_i^2=90$ を相関係数の計算式に代入しても、 $$\displaystyle \frac{5\cdot102-30\cdot20}{\sqrt{(5\cdot220-30^2)(5\cdot90-20^2)}}=\frac{-90}{100}=-\frac{9}{10}$$ となり、結果が一致する。