3奈良県立医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

$|x^2-2x-3|>3$ であるから、絶対値の定義より $$x^2-2x-3>3\quad\text{または}\quad x^2-2x-3<-3$$ である。

まず、前者は $$x^2-2x-6>0$$ となる。方程式 $x^2-2x-6=0$ の解は $x=1\pm\sqrt{7}$ であり、左辺は上に開く二次式なので、 $$x<1-\sqrt{7}\quad\text{または}\quad x>1+\sqrt{7}$$ を得る。

後者は $$x^2-2x<0,\qquad x(x-2)<0$$ となるから、 $$0<x<2$$ である。したがって、求める解は $$\boxed{x<1-\sqrt{7},\quad 0<x<2,\quad x>1+\sqrt{7}}.$$ 境界 $x=0,2$ および $x=1\pm\sqrt{7}$ では、いずれも $\lvert x^2-2x-3\rvert=3$ となるため、厳密不等式の解に含まれない。