2北里大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) $B=\angle ABC$、$D=\angle ADC$ とおく。円に内接する四角形なので $D=\pi-B$ である。余弦定理より $$\displaystyle \cos B=\frac{3^2+5^2-(3\sqrt6)^2}{2\cdot3\cdot5}=-\frac23, \qquad \cos D=-\cos B=\frac23.$$ 三角形 $ADC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle 54=(12-x)^2+x^2-\frac43x(12-x),$$ すなわち $x^2-12x+27=0$。よって $x=3,9$ である。いずれも三角形 $ADC$ の辺の差は $6<3\sqrt6$、辺の和は $12>3\sqrt6$ なので成立する。

(2) $t=AC$、$q=x(12-x)$、$u=(x-6)^2$ とおく。辺の長さから $0<x<12$ であり、$u<36$ なので $51-u>0$ である。また $$x^2+(12-x)^2=72+2u,\qquad q=36-u.$$ $\cos D=-\cos B$ と余弦定理を用いると $$t^2=34-30\cos B,\qquad t^2=72+2u+2(36-u)\cos B.$$ これらを整理して $$\displaystyle t^2=\frac{30(72+2u)+68(36-u)}{30+2(36-u)} =\frac{4(576-u)}{51-u}.$$ 実際に四角形が存在すれば三角形 $ABC$ は非退化だから $t<3+5=8$ である。上式と $51-u>0$ から $$\displaystyle \frac{4(576-u)}{51-u}<64 \quad\text{より}\quad u<16,$$ すなわち $2<x<10$ が必要である。　 逆に $2<x<10$ なら $0\leq u<16$ である。このとき $$\displaystyle t^2>4,\qquad t^2<64,\qquad t^2-4u=\frac{4(u-16)(u-36)}{51-u}>0.$$ よって $2<t<8$ かつ $2\sqrt u<t<12$ となり、辺 $3,5,t$ の三角形 $ABC$ と辺 $x,12-x,t$ の三角形 $ADC$ がともに作れる。さらに上の $t^2$ の式は $$2(36-u)(34-t^2)+30(72+2u-t^2)=0$$ を満たすため、これらの三角形の角 $B,D$ は $\cos D=-\cos B$ を満たす。両角は $0$ と $\pi$ の間だから $B+D=\pi$ となり、対角の和が $\pi$ の四角形を作れる。したがって範囲は $$\boxed{2<x<10}.$$

(3) $q=x(12-x)$ とおく。余弦定理の2式から $$(30+2q)\cos B=34-\{x^2+(12-x)^2\} =2q-110,$$ したがって $$\displaystyle \cos B=\frac{q-55}{q+15},\qquad \sin B=\frac{\sqrt{140(q-20)}}{q+15}.$$ ここで $2<x<10$ より $q-20=(10-x)(x-2)>0$ であり、$B$ は三角形の内角なので正の平方根をとる。四角形の面積を $S$ とすると、対角 $B,D$ が補角であることから $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac12\{3\cdot5+x(12-x)\}\sin B\\ &=\frac12(q+15)\frac{\sqrt{140(q-20)}}{q+15} =\sqrt{35(q-20)}\\ &=\sqrt{35\{16-(x-6)^2\}}\leq4\sqrt{35}. \end{aligned}$$ 等号は $x=6$ のとき成立し、これは (2) の範囲内である。よって最大値は $$\boxed{4\sqrt{35}}.$$

(4) 各頂点から円への接線の長さをそれぞれ $r_A,r_B,r_C,r_D$ とする。　 同じ点から円に引いた接線の長さは等しいので $$AB=r_A+r_B,\quad BC=r_B+r_C,\quad CD=r_C+r_D,\quad DA=r_D+r_A.$$ したがって $AB+CD=BC+DA$ であり、 $$3+x=5+(12-x)$$ から $x=7$ を得る。　 この値は実現できる。$h=\sqrt{21}$ とし、$\displaystyle A=(-\frac32,0)$、$\displaystyle B=(\frac32,0)$、$\displaystyle C=(\frac72,h)$、$\displaystyle D=(-\frac72,h)$ とすれば、$AB=3,\,BC=DA=5,\,CD=7$ の二等辺台形になる。これは円に内接する。点 $I=(0,h/2)$ を中心とする半径 $h/2$ の円は2底辺に接する。右脚 $BC$ の直線は $$\displaystyle h(x-\tfrac32)-2y=0$$ であり、$I$ からこの直線までの距離は $$\displaystyle \frac{|-\frac32h-h|}{\sqrt{h^2+4}}=\frac{5h/2}{5}=\frac h2.$$ 左脚にも対称性により同じ距離だけ離れているので、この円は4辺すべてに接する。