1自治医科大学 2009年 数学 第1問解答・解説

対数の真数が正であるため、$x>0$ である。$\displaystyle t=\log_{10}\frac{x}{2}$、$a=\log_{10}2$ とおくと、対数の性質から $$\displaystyle \log_{10}\frac{x}{4}=\log_{10}\frac{x}{2}-\log_{10}2=t-a$$ となる。したがって与式は $$t(t-a)=1,\qquad t^2-at-1=0$$ と書ける。この二次方程式の判別式は$a^2+4>0$なので、異なる二つの実数解$t_1,t_2$をもつ。解と係数の関係より$t_1+t_2=a$である。

$x>0$では$t=\log_{10}(x/2)$に対し$x=2\cdot10^t$と一意に戻せるから、この二つの$t$は問題の二つの解$x_1,x_2$に対応する。よって $$x_1x_2=(2\cdot10^{t_1})(2\cdot10^{t_2})=4\cdot10^{t_1+t_2}=4\cdot10^a=4\cdot2=8.$$ 選択肢では$8$はラである。