24自治医科大学 2009年 数学 第24問解答・解説

$x$ 軸との接点の $x$ 座標を $r,\ r\ne0$ とする。接するので $f(r)=0, f'(r)=0$ である。ここで $$f(r)=r(r^{2}+pr+q),\qquad f'(r)=3r^{2}+2pr+q$$ だから、$r\ne0$ より $$r^{2}+pr+q=0,\qquad 3r^{2}+2pr+q=0.$$ 二式の差から $2r^{2}+pr=0$ を得る。$r\ne0$ なので $p=-2r$、これを代入して $q=r^{2}$ となる。したがって $$f(x)=x(x-r)^{2},\qquad f'(x)=(x-r)(3x-r).$$ 臨界点は $x=r, r/3$ である。$r>0$ なら $x=r$ で極小値 $f(r)=0$ をとるため、極小値が $-4$ となることはない。よって $r<0$ であり、このとき導関数の符号は $x=r$ で正から負へ、$x=r/3$ で負から正へ変わるので、極小値は $$\displaystyle f\left(\frac r3\right)=\frac r3\left(\frac r3-r\right)^{2}=\frac{4r^{3}}{27}$$ である。これが $-4$ だから $r^{3}=-27$、よって $r=-3$。したがって $q=r^{2}=9$。