22自治医科大学 2009年 数学 第22問解答・解説

$$f'(x)=-3x^{2}+2ax+a$$ であり、その判別式は $$\Delta=(2a)^{2}-4(-3)a=4a(a+3)$$ である。 $\Delta>0$ のとき、(f'(x)) は異なる二つの実数解をもち、最高次の係数が負であるから、符号は負、正、負と変わる。このとき (f) は極小値と極大値をもつ。 $\Delta<0$ のときは (f'(x)<0) が常に成り立ち、(f) は極値をもたない。 $\Delta=0$ のときも、(f'(x)) は一つの点でだけ0となるが、その前後で負のままなので、(f) は極値をもたない。 したがって極値をもたない条件は $$4a(a+3)\leq0\quad\text{すなわち}\quad -3\leq a\leq0$$ である。よって (m=-3, n=0) となり、求める値は (n=0)。