8千葉大学 2023年 数学 第8問解答・解説

(1) $z\neq0$ なので $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0,\ 0\leq\theta<2\pi$）とおく。$|z|^3=|i|=1$ より $r=1$。ド・モアブルの定理から $$\displaystyle 3\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi.$$ $0\leq\theta<2\pi$ に入るものは $k=0,1,2$ であり、 $$\displaystyle z=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right) \quad(k=0,1,2).$$ したがって求める複素数は $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}+\frac12i,\qquad -\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i,\qquad -i.$$

(2) $z^{100}=i$ の根は $$\displaystyle z_k=\cos\theta_k+i\sin\theta_k,\qquad \theta_k=\frac{(4k+1)\pi}{200},\qquad k=0,1,\ldots,99$$ である。これらの偏角は $0<\theta_k<2\pi$ を満たす。$\operatorname{Im}(z_k)\geq0$ は $0<\theta_k<\pi$ と同値であり、その範囲では $\displaystyle \operatorname{Re}(z_k)\leq\frac12$ は $\displaystyle \theta_k\geq\frac{\pi}{3}$ と同値である。よって $$\displaystyle \frac{\pi}{3}\leq\frac{(4k+1)\pi}{200}\leq\pi \quad\text{すなわち}\quad \frac{200}{3}\leq4k+1\leq200 \quad\text{すなわち}\quad 17\leq k\leq49.$$ したがって個数は $49-17+1=33$。

(3) $z^n=i$ の根の偏角は $\displaystyle \theta_j=(\frac{\pi}{2}+2j\pi)/n$（$j$ は整数）で表せる。$\displaystyle \operatorname{Re}(z)\geq\frac12$ に対応する偏角の代表は $\displaystyle -\frac{\pi}{3}\leq\theta_j\leq\frac{\pi}{3}$ に限られる。この区間の幅は $2\pi/3<2\pi$ なので、同じ根を重複して数えない。条件は $$\displaystyle -\frac{n}{6}-\frac14\leq j\leq\frac{n}{6}-\frac14$$ となる。左端以上右端以下の整数の個数を数えると、$q$ を非負整数として $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} n&j\text{ の範囲}&N\\\hline 3q&-\frac q2-\frac14\le j\le\frac q2-\frac14&q\\ 3q+1&-\frac q2-\frac5{12}\le j\le\frac q2-\frac1{12}&q\\ 3q+2&-\frac q2-\frac7{12}\le j\le\frac q2+\frac1{12}&q+1 \end{array}$$ である。したがって、$n=3q$ では $N=n/3$、$n=3q+1$ では $N=q<n/3=q+1/3$、$n=3q+2$ では $N=q+1>n/3=q+2/3$。よって必要十分条件は $$n\equiv2\pmod3.$$

複素数を極形式で表し、ド・モアブルの定理で根の偏角を等間隔に記述する。実部・虚部の条件を偏角区間に直して根の個数を数える。