2徳島大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) $\theta=\pi/n$ とおく。$OP_1=OP_2=1$、そのなす角は $\theta$ なので面積は $\sin\theta/2$。$0<\theta\le\pi/2$ より、これが $1/4$ となるのは $\theta=\pi/6$、従って $n=6$ である。 $$\displaystyle \boxed{\alpha=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i,\qquad\beta=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i}.$$ (2) $x=k\pi/(2n)$ とおく。単位円の弦の長さより $AP_k=2\sin x,\ CP_k=2\cos x$。条件から $0<x\le\pi/4$ であり、 $$2(\sin x+\cos x)=\sqrt6\text{であるための必要十分条件は} 4(1+\sin2x)=6.$$ 従って $2x=\pi/6$ なので $\boxed{k/n=1/6}$。 (3) 底辺 $AC=2$ と高さから $S_k=\sin(k\pi/n)$。連続関数の区分求積法により $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n} =\int_0^1\sin(\pi t)\,dt=\frac2\pi}.$$ (4) 回転後の点は偏角 $\pi/2+\pi/3=5\pi/6$、絶対値1である。ド・モアブルの定理と $5\cdot2023=12\cdot842+11$ から $$\displaystyle \boxed{z^{2023}=\cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac12i}.$$