3徳島大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 漸化式に順に代入すると $$\displaystyle a_3=\frac1{a_2}+a_1=2,\qquad a_4=\frac1{a_3}+a_2=\frac32,\qquad a_5=\frac1{a_4}+a_3=\frac83.$$

(2) $a_1=a_2=1>0$ であり、正の項から $a_{n+1}=a_{n-1}+1/a_n>0$ なので全項は正である。また $a_{n+1}>a_{n-1}$ だから奇数項、偶数項はそれぞれ増加し、$n\ge3$ で $a_n>1$。 上限は偶数項と奇数項に分けて帰納する。$a_2=1<2,\ a_3=2<3$。$m\ge2$ で $a_m<m$ とすると、先に示した $a_{m+1}>1$ より $$\displaystyle a_{m+2}=a_m+\frac1{a_{m+1}}<a_m+1<m+1<m+2.$$ したがって各偶奇列について $a_n<n$ が続く。よって $1<a_n<n\ (n\ge3)$。

(3) 漸化式から $$\displaystyle a_{2k+1}-a_{2k-1}=\frac1{a_{2k}}\quad(k\ge1),$$ したがって $$\displaystyle a_{2n+1}=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{a_{2k}}.$$ (2)より $a_{2k}<2k$ だから $$\displaystyle a_{2n+1}>1+\frac12\sum\limits _{k=1}^{n}\frac1k.$$ $n=2^m$ とし、各 $j=1,\ldots,m$ で $2^{j-1}<k\le2^j$ の $2^{j-1}$ 項をまとめると、そのブロックの $\displaystyle \sum 1/k$ は少なくとも $1/2$。従って $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2^m}\frac1{2k}\ge\frac12+\frac m4\longrightarrow\infty.$$ さらに $a_{2n+1}$ は差 $1/a_{2n+2}>0$ で増加するので、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_{2n+1}=\infty.$$

(1) Substitute successively. (2) Positivity and $a_{n+1}>a_{n-1}$ give lower bounds. For upper bounds, apply $a_{m+2}=a_m+1/a_{m+1}<a_m+1$ separately to the even and odd subsequences. (3) Sum the positive differences of odd terms; $a_{2k}<2k$ bounds the increments below by $1/(2k)$. Grouping dyadic blocks proves divergence, and the odd terms increase.