4徳島大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $3x+7y=34$ を3で割った余りから $y\equiv1\pmod3$。$0\le y\le4$ より $y=1,4$。従って $\boxed{(x,y)=(9,1),(2,4)}$。 (2) $n\equiv r\pmod3$（$r=0,1,2$）とする。$3x+7y=n$ なら $y\equiv r\pmod3$、$y\ge r$ より $n\ge7r$。逆に $n\ge7r$ なら $y=r,x=(n-7r)/3$ が非負整数解である。よって表せないのは余り1の $1,4$ と余り2の $2,5,8,11$。$\boxed{6\text{個、最大11}}$。 (3) $a=3k+1$、$k\ge1$ とする。同様に余り$r$の$n$が表せる条件は $n\ge ar$。表せない整数は余り1で $1,4,\ldots,a-3$ の$k$個、余り2で $2,5,\ldots,2a-3$ の$2k$個。従って $\boxed{a-1\text{個、最大 }2a-3}$。