6千葉大学 2023年 数学 第6問解答・解説

1個のさいころを投げて出た目によって数直線上の点 P を動かすことを繰り返すゲームを考える。最初の P の位置を a_0=0 とし，さいころを n 回投げたあとの P の位置 a_n を次のルールで定める。 ・a_{n-1}=7 のとき，a_n=7。 ・a_{n-1}$\ne$7 のとき，n 回目に出た目 m に応じて $$a_n=\begin{cases} a_{n-1}+m & (a_{n-1}+m=1,3,4,5,6,7 のとき),\\ 1 & (a_{n-1}+m=2,12 のとき),\\ 14-(a_{n-1}+m) & (a_{n-1}+m=8,9,10,11 のとき) \end{cases}$$

(1) a_2=1 となる確率を求めよ。

(2) n$\geq$1 について，a_n=7 となる確率を求めよ。

(3) n$\geq$3 について，a_n=1 となる確率を求めよ。