島根大学 2017年数学第1問解答・解説

場合の数と確率数列

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1問題

島根大学2017年度第1問

（医学部医学科用問題）4つの箱 $X,Y,Z,W$ と2つの玉がある。最初、箱 $X,Y$ には玉が1つずつ入っており、箱 $Z,W$ には玉が入っていないとする。この状態から始めて、次の操作を繰り返し行う。

「2つの玉のうち1つを無作為に選び、それを、その時点で玉が入っていない2つの箱のいずれか1つに無作為に移動する。」

この操作を $n$ 回繰り返したとき、 $X$ と $Y$ に入っている玉の個数の合計を $A_n$ とする。例えば、操作を $n$ 回繰り返したとき、最初の状態に戻ったならば、 $A_n=2$ である。

$A_n$ が偶数である確率を $p_n$ 、 $A_n$ が奇数である確率を $q_n$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $p_1,q_1,p_2,q_2$ を求めよ。

(2) $p_{n+1},q_{n+1}$ を $p_n,q_n$ を用いて表せ。

(3) $q_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle p_1=0, q_1=1, p_2=q_2=\frac12$ 。 (2) $\displaystyle p_{n+1}=\frac{q_n}{2},\quad q_{n+1}=p_n+\frac{q_n}{2}$ 。 (3) $\displaystyle q_n=\frac23\left(1-\left(-\frac12\right)^n\right)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 初期にはX,Yに1球ずつあるので $A_0=2$ 、 $p_0=1,q_0=0$ 。1回目は球を空箱へ移すため、X,Y側に1球だけ残り $A_1=1$ 。従って $p_1=0,q_1=1$ 。2回目には、選んだ球を同じグループの空箱へ移す場合と別グループの空箱へ移す場合が1つずつあり、前者で偶数、後者で奇数となるので $p_2=q_2=1/2$ 。 (2) $A_n$ が偶数なら2球はX,Y側またはZ,W側の一方にまとまっている。次は反対側の空箱へ移すため、必ず $A_{n+1}=1$ 。 $A_n$ が奇数なら2つのグループに1球ずつあり、選んだ球について同じグループの空箱・異なるグループの空箱が各1つ。従って $\displaystyle p_{n+1}=\frac12q_n,\qquad q_{n+1}=p_n+\frac12q_n.$ (3) $p_n+q_n=1$ より $q_{n+1}=1-q_n/2$ 。したがって $\displaystyle q_{n+1}-\frac23=-\frac12\left(q_n-\frac23\right).$ $q_0=0$ を用いると $\displaystyle q_n=\frac23\left(1-\left(-\frac12\right)^n\right)\quad(n\ge0).$

この問題で使う考え方

状態による場合分け
確率漸化式
等比数列への変形

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