II慶應義塾大学 2017年 数学 第II問解答・解説

状態の動き

状態A（赤2個・白1個）では、2個の選び方のうち異色の組が2通りなので確率 $2/3$ でAのままです。赤2個を選ぶ確率は $1/3$ で、そのとき白玉が2個加わるためB（白3個）になります。Bからは白2個を選ぶしかなく、赤玉2個が加わって必ずAに戻ります。

(1) 状態Aである確率

$p_0=1$、$p_1=2/3$。次の操作後にAとなるのは、AからAにとどまる場合と、BからAへ戻る場合なので $\displaystyle p_{n+1}=\frac23p_n+(1-p_n)=1-\frac13p_n$。 固定値は $3/4$ で、偏差は毎回 $-1/3$ 倍になるため $\displaystyle p_n=3/4+\frac14(-1/3)^n$。

(2) Bがちょうど1回

第 $k<n$ 回にBとなる場合は、他のランダム遷移ではすべてAにとどまる必要があります。位置ごとの確率は $\displaystyle \frac13(\frac23)^{n-2}$ で、位置は $n-1$ 通り。最後にBとなる場合の確率は $\displaystyle \frac13(\frac23)^{n-1}$。足すと $\displaystyle q_n=\frac{3n-1}{9}(\frac23)^{n-2}$。 よって $q_4=44/81$。

(3) Bがちょうど2回

Bの次の回は必ずAなので、2回のBの位置は隣り合いません。2回目が最終回より前か最終回かに分けて位置を数えると $$\displaystyle r_n=\frac{(n-2)(n-3)}{18}(2/3)^{n-4}+\frac{n-2}{9}(2/3)^{n-3} =\frac{(n-2)(3n-5)}{54}(2/3)^{n-4}.$$ したがって $r_4=7/27$ です。

答

(1) $p_1=2/3$, $\displaystyle p_n=3/4+\frac14(-1/3)^n$。 (2) $q_4=44/81$, $\displaystyle q_n=\frac{3n-1}{9}(2/3)^{n-2}$。 (3) $r_4=7/27$, $\displaystyle r_n=\frac{(n-2)(3n-5)}{54}(2/3)^{n-4}$。