III慶應義塾大学 2017年 数学 第III問解答・解説

第III問

$P=(a,b)$、$Q=(2\cos\theta,2\sin\theta)$ とし、$R=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ とおく。$R$ が $QP$ の垂直二等分線上にあることから $$\displaystyle |R-P|^2=|R-Q|^2 \quad\text{より}\quad r=\frac{4-a^2-b^2}{2(2-a\cos\theta-b\sin\theta)}.$$ $e=\sqrt{a^2+b^2}/2<1$ とおけば $$\displaystyle r=\frac{1-e^2}{1-(a/2)\cos\theta-(b/2)\sin\theta}.$$ これは焦点を $O$ に持つ楕円の極方程式で、長半径は $1$、離心率は $e$ である。従って長軸の長さは $2$、短軸の長さは $$2\sqrt{1-e^2}=\sqrt{4-a^2-b^2}.$$

$P=(1,1)$ では $$\displaystyle r=\frac1{2-\cos\theta-\sin\theta},\qquad y(\theta)=\frac{\sin\theta}{2-\cos\theta-\sin\theta}.$$ 微分すると $$\displaystyle y'(\theta)=\frac{2\cos\theta-1}{(2-\cos\theta-\sin\theta)^2}.$$ 極大候補は $\theta=\pi/3,5\pi/3$。後者の $y$ は負で、最大は $\theta_0=\pi/3$ における値である。そこで $$\displaystyle r_0=\frac{2}{3-\sqrt3}=\frac{3+\sqrt3}{3},\qquad \theta_0=\frac{\pi}{3}.$$

(2) $c=t/2$ とすると、$S(t,0)$ は焦点が $(0,0),(t,0)$、長半径が $1$ の楕円であり、媒介表示は $$x=c+\cos\phi,\qquad y=\sqrt{1-c^2}\sin\phi\quad(0<c<1).$$ 固定した $x$ について $$y^2=(1-c^2)\{1-(x-c)^2\}.$$ この式を $c$ で最大化すると、$-1\le x\le0$ では上端が $\sqrt{1-x^2}$（$c\to0$）、$0\le x\le2$ では上端が $1-x^2/4$（$c=x/2$）となる。下端は $y=0$ である。したがって掃過領域の面積は $$\displaystyle 2\left\{\int_{-1}^0\sqrt{1-x^2}\,dx+ \int_0^2\left(1-\frac{x^2}{4}\right)\,dx\right\} =\boxed{\frac{\pi}{2}+\frac83}.$$