宮崎大学 2014年数学第5問解答・解説

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1問題

宮崎大学2014年度第5問

大問5（医学部）　白球6個と黒球4個がある。　はじめに、白球6個を横1列に並べる。次に、1から6の目がそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{6}$ の確率で出るサイコロを1つ投げて、出た目の数が $a$ であれば、並んでいる球の左から $a$ 番目の球の左に黒球を1個入れるという操作を4回繰り返す。　例えば、1回目に1の目、2回目に5の目、3回目に5の目、4回目に2の目が出た場合の球の並びの変化は次の図のようになる。 $\begin{array}{c|l}\text{はじめ}&\circ\circ\circ\circ\circ\circ\\\text{1回目の操作の後}&\bullet\circ\circ\circ\circ\circ\circ\\\text{2回目の操作の後}&\bullet\circ\circ\circ\bullet\circ\circ\circ\\\text{3回目の操作の後}&\bullet\circ\circ\circ\bullet\bullet\circ\circ\circ\\\text{4回目の操作の後}&\bullet\bullet\circ\circ\circ\bullet\bullet\circ\circ\circ\end{array}$ 　最終的な10個の球の並びにおいて、一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を $k$ とするとき、次の各問に答えよ。

(1) $k=0$ である確率を求めよ。

(2) $k=1$ である確率を求めよ。

(3) $k$ の期待値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

考え方左端の白球より左の黒球数だけを追う。 $j$ 回後のその個数を $K_j$ とする。 $K_j=k$ なら，次の目が $1,\ldots,k+1$ のときだけ1増える。したがって増える確率は $(k+1)/6$ である。 (1) 4回とも増えない確率は $P(K_4=0)=(5/6)^4=625/1296.$ (2) 初めて増える回を $j\;(1\le j\le4)$ とする。その前は増えない確率が $5/6$ ，増えた後は $4/6$ なので $\displaystyle P(K_4=1)=\sum\limits _{j=1}^4(5/6)^{j-1}(1/6)(4/6)^{4-j}=\frac{4^3+5\cdot4^2+5^2\cdot4+5^3}{6^4}=\frac{41}{144}.$ (3) $E_j=E[K_j]$ とおく。各 $k$ について次の平均増分が $(k+1)/6$ だから，確率を掛けて足せば $\displaystyle E_{j+1}=E_j+\frac{E_j+1}{6},\quad E_0=0.$ よって $\displaystyle E_{j+1}+1=\frac76(E_j+1)$ より $E_4=(7/6)^4-1=1105/1296.$

この問題で使う考え方

状態遷移
場合分け
期待値の漸化式

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