名古屋大学 2016年数学第3問解答・解説

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1問題

名古屋大学2016年度第3問

玉が2個ずつ入った2つの袋A，Bがあるとき，袋Bから玉を1個取り出して袋Aに入れ，次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れる，という操作を1回の操作と数えることにする。Aに赤玉が2個，Bに白玉が2個入った状態から始め，この操作をn回繰り返した後に袋Bに入っている赤玉の個数がk個である確率を Pₙ(k) (n = 1, 2, 3, …) とする。このとき，次の問に答えよ。

(1) k = 0, 1, 2 に対する P₁(k) を求めよ。

(2) k = 0, 1, 2 に対する Pₙ(k) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle P_1(0)=\frac13,\quad P_1(1)=\frac23,\quad P_1(2)=0$ 。
(2) $n=1,2,3,\ldots$ に対して $\displaystyle P_n(0)=\frac16+\frac1{2\cdot3^n},\quad P_n(1)=\frac23,\quad P_n(2)=\frac16-\frac1{2\cdot3^n}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

袋Bの赤玉数を $k$ とする。1回の操作はBからAへ1球、続いてAからBへ1球である。 $k=0$ なら最初は白を移し、Aの赤2白1から選ぶので、次の状態0,1の確率は $1/3,2/3$ 。 $k=1$ なら最初の色は赤白各 $1/2$ 。次の状態0,1,2の確率は $1/6,2/3,1/6$ 。 $k=2$ は $k=0$ と色を交換して、次の状態1,2の確率は $2/3,1/3$ 。

(1) 初めは $k=0$ だから $\displaystyle P_1(0)=\frac13,\quad P_1(1)=\frac23,\quad P_1(2)=0.$ (2) どの状態からも次に1となる確率は $2/3$ なので、 $P_n(1)=2/3$ （ $n\ge1$ ）。 $u_n=P_n(0)$ とおくと $\displaystyle u_{n+1}=\frac13u_n+\frac16P_n(1)=\frac13u_n+\frac19,\quad u_1=\frac13.$ 従って $u_{n+1}-1/6=(u_n-1/6)/3$ より $\displaystyle P_n(0)=\frac16+\frac1{2\cdot3^n},\quad P_n(1)=\frac23,\quad P_n(2)=\frac16-\frac1{2\cdot3^n}.$

この問題で使う考え方

場合分け
漸化式

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