4香川大学 2015年 数学 第4問解答・解説

1. $t=e^x$ とおくと $$f'(x)=1+2e^{2x}-be^x=2t^2-bt+1.$$ この二次方程式の解は $$\displaystyle \alpha=\frac{b-\sqrt{b^2-8}}4,\qquad \beta=\frac{b+\sqrt{b^2-8}}4$$ である。$b>2\sqrt2$ より $0<\alpha<\beta$ だから、$f$ は $x<\ln\alpha$ で増加し、$\ln\alpha<x<\ln\beta$ で減少し、 $x>\ln\beta$ で増加する。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=\infty.$$ したがって、方程式 $f(x)=a$ が異なる3個の実数解をもつための条件は $$f(\ln\beta)<a<f(\ln\alpha)$$ である。$2t^2-bt+1=0$ の解 $t=\alpha,\beta$ では $bt=2t^2+1$ なので $$f(\ln t)=\ln t+t^2-bt=\ln t-t^2-1.$$ よって求める範囲は $$\boxed{\ln\beta-\beta^2-1<a<\ln\alpha-\alpha^2-1}.$$

2. $f(x)=a$ の3解を $x_1<x_2<x_3$ とし、 $$g(x)=(x-a)^2+(e^x-b)^2$$ とおく。これは曲線上の点 $(x,e^x)$ と中心 $(a,b)$ との距離の二乗である。微分すると $$g'(x)=2(x-a)+2(e^x-b)e^x=2(f(x)-a).$$ $f(x)-a$ は $x_1,x_2,x_3$ の順に負から正、正から負、負から正へ符号が変わる。したがって $g$ は $x<x_1$ で減少、$x_1<x<x_2$ で増加、$x_2<x<x_3$ で減少、 $x>x_3$ で増加する。ゆえに $$g(x_2)>g(x_1),\qquad g(x_2)>g(x_3).$$ また $g(x)\to\infty$ は $x\to\pm\infty$ のいずれでも成り立つ。そこで $$\displaystyle \max\{g(x_1),g(x_3)\}<\rho^2<g(x_2)$$ となる $\rho^2$ をとる。この範囲は空でなく、左端は0以上なので $\rho>0$ とできる。各単調区間で中間値の定理を用いると、方程式 $g(x)=\rho^2$ は $x<x_1,x_1<x<x_2,x_2<x<x_3,x>x_3$ のそれぞれに1個ずつ解をもつ。これらは相異なる4個の実数であり、対応する4点 $(x,e^x)$ は中心 $(a,b)$、半径 $\rho$ の円上にある。