10自治医科大学 2014年 数学 第10問解答・解説

問題 円に内接する四角形 $ABCD$ の辺の長さが $AB=7,\ BC=7,\ CD=5,\ DA=3$ である。対角線 $AC$ の長さを求める。

解答 $x=AC$ とおく。円に内接する四角形の対角は補角なので、$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$ であり、$\cos\angle ADC=-\cos\angle ABC$ である。

余弦定理を三角形 $ABC$ と $ADC$ にそれぞれ用いると、 $$\displaystyle \cos\angle ABC=\frac{7^2+7^2-x^2}{2\cdot7\cdot7}=\frac{98-x^2}{98},\qquad \cos\angle ADC=\frac{3^2+5^2-x^2}{2\cdot3\cdot5}=\frac{34-x^2}{30}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{34-x^2}{30}=-\frac{98-x^2}{98}.$$ 両辺を整理すると $$98(34-x^2)=-30(98-x^2)\ \quad\text{より}\quad\ 6272=128x^2\ \quad\text{より}\quad\ x^2=49.$$ 長さは正だから $x=7$ である。

最終結果 $AC=7$。選択肢は $\boxed{\text{ヤ}}$（値 $7$）。