自治医科大学 2014年数学第24問解答・解説

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1問題

自治医科大学2014年度第24問

定積分 $\displaystyle 3\displaystyle\int_{\frac1e}^{e}\frac{(\log x)^2}{x}\,dx$ （ $\log x$ は自然対数）の値を求めよ。　選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

Q24

最終答

求める値は $2$ である。選択肢はサ。

解答

置換 $u=\log x$ をすると $\displaystyle du=\frac{dx}{x}$ 。積分区間は $\displaystyle x=\frac1e$ のとき $u=-1$ 、 $x=e$ のとき $u=1$ となる。よって

$\displaystyle 3\int_{1/e}^{e}\frac{(\log x)^2}{x}\,dx =3\int_{-1}^{1}u^2\,du =3\left[\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1} =1-(-1)=2.$

使用解法

対数の値による置換積分。

issues

なし。

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