自治医科大学 2014年数学第5問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

自治医科大学2014年度第5問

$\displaystyle \sin\theta\left(\frac{1}{\tan\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta-1}\right)=a\quad\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$ であるとき、 $a^2$ の値を求めよ。

選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は $\text{ア}:0,\ \text{カ}:1,\ \text{サ}:2,\ \text{タ}:3,\ \text{ナ}:4,\ \text{ハ}:5,\ \text{マ}:6,\ \text{ヤ}:7,\ \text{ラ}:8,\ \text{ワ}:9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

1
$a^2=1$
2
選択肢: カ

3解答

解答を見る途中式つきの解答

指定範囲では $\sin\theta>0$ 、 $\tan\theta$ は定義されて $\tan\theta\ne 0$ 、また $0<\cos\theta<1$ なので $\cos\theta-1\ne0$ 。したがって式変形の分母はすべて零でない。 $\displaystyle \begin{aligned} a&=\sin\theta\left(\frac{1}{\tan\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta-1}\right)\\ &=\cos\theta+\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta-1}\\ &=\cos\theta+\frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta-1}\\ &=\cos\theta-\frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{1-\cos\theta}\\ &=\cos\theta-(1+\cos\theta)=-1. \end{aligned}$ よって $a^2=(-1)^2=1$ 。

最終結果・使用解法

$a^2=1$ （選択肢 $\text{カ}$ ）。三角比の相互関係と因数分解による恒等変形を用いた。

点検

範囲条件により $1-\cos\theta\ne0$ であり、約分は正当である。式の値は指定範囲のどの $\theta$ でも $-1$ 。問題文に判読上の不明点はない。

この問題で使う考え方

三角比と相互関係

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。