自治医科大学／前期
2014年度の数学自治医科大学・全25問
- 1整式x⁵+3x⁴+px³+qx-2がx²+3x+4で割り切れるとき、p-qの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は ア:0, カ:1, サ…
- 2x^( 14)+x^(- 14)=2のとき、x^( 34)+x^(- 34)の値を求めよ。ただし、x>0とする。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は…
- 3方程式 ( 34 )^(2x)= (16/9 )^(x-1)の解をaとするとき、6aの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は ア:0, カ…
- 4xを整数とする。log2(x+1)+4log4(x-1)>0を満たす最小のxの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は ア:0, カ:1, …
- 5sinθ (1/tanθ+sinθ/(cosθ-1) )=a (0<θ<π/2 )であるとき、a²の値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は…
- 6方程式cos 2θ-3sinθ+1=0 (0≤θ<2π)の2つの解をα,βとする。(α+β)/πの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は …
- 7放物線y=x²+ax+bと直線y=x+aが接しているとき、条件を満たす(a,b)は何組あるか。ただし、a,bはともに整数であり、b<10とする。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の…
- 8箱の中に赤球が4個、黄球が3個、青球が3個入っている。この箱から3個の球を同時に取り出すとき、3個とも同じ色になる確率をpとする。100pの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解…
- 9正解か不正解かだけを問う二者択一式の問題が10個ある。でたらめに解答し2問だけ正解であった。このときの確率をpとする。 2¹⁰5pの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の…
- 10四角形ABCDは円に内接している。辺ABの長さを7、辺BCの長さを7、辺CDの長さを5、辺DAの長さを3とする。線分ACの長さの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当…
- 11円x²+y²=2と直線y=2x+kは相異なる2点A,Bで交わる。三角形OABの面積をSとする（Oは原点）。Sが最大となるときのkの値をMとしたとき、M²の値を求めよ。 選択肢から最も適当なもの…
- 12辺ABの長さが3、辺ACの長さが2、∠ BAC=60^°である三角形ABCについて考える。三角形ABCの外接円の中心をOとする。三角形ABCの面積をS1、三角形OABの面積をS2としたとき、S…
- 13円C1:x²+y²=1、円C2:(x-4)²+y²=25について考える。点R(2,0)から円C1にひいた接線を直線Lとする（直線Lの傾きは負の実数とする）。このとき、円C2と直線Lは2つの異な…
- 14楕円x²/4+y²/9=1上の点 (√3,- 32 )における接線の傾きをkとする。4k²/3の値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は ア…
- 15数列anは、a1=2とan+1=3an-2を満たしている（nは自然数）。Sn= =1ⁿakとする。Sn>2014を満たす最小のnの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該…
- 16正の実数a,b,c（a≠ b, a≠ c, b≠ c）について考える。 1a, 2b, 1cがこの順で等比数列であり、a,b,3cがこの順で等差数列となるとき、a/cの値を求めよ。 選択肢から…
- 17三角形OABについて考える。辺OBを3:2に内分する点をQ、辺OAを2:5に内分する点をRとし、線分AQと線分BRの交点をPとする。→OP=m→OA+n→OB (m,n は実数)と表せるとき、…
- 183つの空間ベクトル a=(2,1,-2), b=(3,4,0), c=(x,y,z)について考える。 cは aと bの両方に垂直であり、| c|=2√5となる。|z|の値を求めよ。 選択肢から…
- 191辺の長さが1である正四面体OABCについて考える。辺ABおよび辺OCの中点をそれぞれM,Nとする。8→MN·→BNの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を…
- 20関数y=(ax+b)/(x²+x+1)がx=2で最大値1をとるとき、a-bの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は ア:0, カ:1, サ…
- 21関数y=ax⁴-4ax³+b（a,bとも実数、a>0）の1≤ x≤4における最大値が3、最小値が-24となるとき、a+bの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記…
- 22曲線y=√x-1（x>1）上の点Aと点B(3,-1)を結ぶ線分ABの長さの最小値をmとする。m²の値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は …
- 23関数f(t)= ∫0^(π)(x-tsin x)² dxとする（tは実数）。f(t)が最小となるときのtの値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選…
- 24定積分3 ∫ 1e^e((log x)²)/x dx（log xは自然対数）の値を求めよ。 選択肢から最も適当なものを一つ選び、解答用紙の該当する記号を塗り潰せ。選択肢は ア:0, カ:1, …
- 25点P(cos⁴θ,-sin⁴θ) (0≤θ≤π/2 )の軌跡を曲線Cとし、θ=π/6における曲線Cの接線を直線Lとする。曲線C、直線L、y軸で囲まれた面積をSとする。128Sの値を求めよ。 選…