22自治医科大学 2014年 数学 第22問解答・解説

Q22

最終答

$m^2=5$ である。選択肢はハ。

解答

曲線上の点を $A=(x,\sqrt{x-1})$ と表せる。条件 $x>1$ より $t=\sqrt{x-1}$ とおくと $t>0$、$A=(t^2+1,t)$ となる。点 $B=(3,-1)$ との距離の二乗は

$$AB^2=(t^2+1-3)^2+(t+1)^2=(t^2-2)^2+(t+1)^2.$$

これを整理して平方因数に分けると、

$$\begin{aligned} AB^2&=t^4-3t^2+2t+5\\ &=5+t(t-1)^2(t+2). \end{aligned}$$

$t>0$ なので $t(t-1)^2(t+2)\geq0$。したがって $AB^2\geq5$ であり、$t=1$ のとき等号が成り立つ。この値は許されるので最小値が実際に達成される。よって

$$m^2=5.$$

使用解法

座標による距離の二乗を、定義域を保った置換で平方因数に分けて最小化。

issues

なし。