20自治医科大学 2014年 数学 第20問解答・解説

Q20

最終答

$a-b=8$ である。選択肢はラ。

解答

分母は

$$\displaystyle x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0$$

だから、すべての実数 $x$ で関数が定義されている。関数が $x=2$ で最大値 $1$ をとることは、すべての実数 $x$ について

$$\displaystyle 1-\frac{ax+b}{x^2+x+1}\geq 0$$

であり、$x=2$ で等号が成り立つことを意味する。分母が正なので、これは

$$q(x)=x^2+(1-a)x+(1-b)\geq0$$

であり、$q(2)=0$ という条件に等しい。$q$ は最高次係数が $1$ の二次式で、全実数で非負かつ $x=2$ で $0$ となるため、

$$q(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4.$$

係数を比べて $1-a=-4$、$1-b=4$ より $a=5,\ b=-3$。実際にこのとき

$$\displaystyle 1-y=\frac{(x-2)^2}{x^2+x+1}\geq0$$

で、$x=2$ で等号となるので、確かに最大値は $1$ である。したがって、

$$a-b=5-(-3)=8.$$

使用解法

分母の正値性と、最大値の条件を二次式の平方に帰着する方法。

issues

なし。