金沢大学 2015年数学第4問解答・解説

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1問題

金沢大学2015年度第4問

$a>1$ とする。無限等比級数 $a+ax(1-ax)+ax^2(1-ax)^2+ax^3(1-ax)^3+\cdots$ が収束するとき，その和を $S(x)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) この無限等比級数が収束するような実数xの値の範囲を求めよ。また，そのときの $S(x)$ を求めよ。

(2) xが(1)で求めた範囲を動くとき， $S(x)$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) $\displaystyle I(a)=\int_0^{1/a}S(x)\,dx$ とおくとき，極限値 $\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}I(a)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 収束区間は ((1−√(1+4a))/(2a),(1+√(1+4a))/(2a))、S(x)=a/(ax²−x+1)。 (2) a/2<S(x)≦4a²/(4a−1)。 $(3) lim I(a)=1$ 。

解答を見る途中式つきの解答

解説

各項は初項 $a$ 、公比 $r=x(1-ax)$ の等比級数です。 $a>1$ より、 $r$ の頂点での最大値 $1/(4a)$ は 1 未満です。したがって収束条件 $|r|<1$ は、二次不等式 $r>-1$ のみを解けばよいことになります。

収束区間内では $r$ は $-1$ に近づきますが $-1$ にはならず、最大値 $1/(4a)$ は実際に取ります。和 $S=a/(1-r)$ は $r$ とともに増加するので、下端は含まず上端は含む値域です。

積分では $t=ax$ と置換し、 $-1/4\le t^2-t\le0$ を使って被積分関数を上下から評価します。両側の積分評価はともに 1 に近づくため、はさみうちの原理で極限が定まります。

この問題で使う考え方

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