2金沢大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=xe^x$ とする。

(1) 微分すると $$f'(x)=e^x(x+1),\qquad f''(x)=e^x(x+2).$$ $e^x>0$ なので、$f$ は $x<-1$ で減少し、$x>-1$ で増加する。極小点は $(-1,-1/e)$ である。また $f''(x)<0$ は $x<-2$、$f''(x)>0$ は $x>-2$ であるから、変曲点は $(-2,-2/e^2)$。$f(0)=0$、与えられた極限から $x\to-\infty$ で $f(x)\to0$（負側から）であり、$x\to\infty$ で $f(x)\to\infty$。これらの情報に従い、左端では $y=0$ に下側から近づき、$(-1,-1/e)$ で最小となり、原点を通って増加するグラフを描く。

(2) 部分積分により $$\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C.$$ さらに $$\displaystyle \begin{aligned} \int x^2e^{2x}\,dx &=\frac{x^2e^{2x}}2-\int xe^{2x}\,dx\\ &=\frac{x^2e^{2x}}2-\left(\frac{x}{2}-\frac14\right)e^{2x}+C\\ &=\frac{e^{2x}}4(2x^2-2x+1)+C. \end{aligned}$$ 微分するとそれぞれ $xe^x$、$x^2e^{2x}$ に戻る。

(3) $f'(x)>0$ は $0\le x\le1$ で成り立つので、$g(x)=f(x)-f(t)$ は $x=t$ で0となり、$x<t$ では負、$x>t$ では正である。回転時の断面半径は $|g(x)|$ だから $$\displaystyle V(t)=\pi\int_0^1\{xe^x-te^t\}^2dx.$$ (2)より $$\displaystyle \int_0^1x^2e^{2x}dx=\frac{e^2-1}{4},\qquad \int_0^1xe^x dx=1.$$ よって $$\displaystyle \boxed{V(t)=\pi\left\{\frac{e^2-1}{4}-2te^t+t^2e^{2t}\right\}}.$$

(4) $u=f(t)=te^t$ とおくと $$\displaystyle V(t)=\pi\left\{(u-1)^2+\frac{e^2-5}{4}\right\}.$$ $f$ は $0\le t\le1$ の範囲で増加し、$f(0)=0<1<f(1)=e$ である。従って$0<a<1$ かつ $f(a)=1$ を満たす $a$ がただ1つ存在し、そのとき $V(t)$ は最小となる。求める値は $$\displaystyle \boxed{V(a)=\frac{\pi(e^2-5)}4},\qquad \boxed{f(a)=1}.$$ $a$ の値自体を求める必要はない。