3金沢大学 2015年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle \begin{gathered} \text{(1)}\quad u_0=\log_3 t\text{ とおくと }P=(t,u_0),\quad t+u_0=s.\\ \log_3 x\text{ と }3^x\text{ は逆関数なので }(u_0,t)\text{ は }y=3^x\text{ 上にある。さらに }u_0+t=s\text{ より直線 }y=-x+s\text{ 上にもある。}\\ 3^x+x\text{ は }x\text{ が大きくなると必ず大きくなるので、直線との交点はただ一つであり、}Q=(u_0,t).\\ \text{したがって線分 }PQ\text{ の中点}=\left(\frac{t+u_0}{2},\frac{u_0+t}{2}\right)=\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2}\right).\\[2mm] \text{(2)}\quad Q=(u,3^u)=(u_0,t)\text{ なので }u=u_0=\log_3 t.\quad\text{また }P\text{ が直線上にあることから }s=t+u_0=t+u.\\[2mm] \text{(3)}\quad u=\log_3 t,\quad s=t+u\text{ とおく。 }F(t)=su=(t+u)u=tu+u^2\text{ とすると }F(3)=4.\\ k\ne4\text{ なら分子 }F(t)-k\longrightarrow4-k\ne0\text{ なので商は有限値に収束しない。よって }k=4.\\ u'=\frac1{t\ln3},\quad F'(t)=u+tu'+2uu'=u+\frac{t+2u}{t\ln3}.\\ \text{したがって }\lim\limits _{t\to3}\frac{su-4}{t-3}=F'(3)=1+\frac5{3\ln3}. \end{gathered}$