金沢大学 2015年数学第1問解答・解説

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1問題

金沢大学2015年度第1問

四面体OABCにおいて，3つのベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ はどの2つも互いに垂直であり， $h>0$ に対して， $|\overrightarrow{OA}|=1,\ |\overrightarrow{OB}|=2,\ |\overrightarrow{OC}|=h$ とする。3点O,A,Bを通る平面上の点Pは， $\overrightarrow{CP}$ が $\overrightarrow{CA}$ と $\overrightarrow{CB}$ のどちらとも垂直となる点であるとする。次の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OP}=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}$ とするとき， $\alpha$ と $\beta$ をhを用いて表せ。

(2) 直線OPと直線ABが直交していることを示せ。

(3) $\triangle PAB$ は，辺ABを底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \alpha=-h^2,\quad\beta=-\frac{h^2}{4}$ 。
(2) $\text{OPとABの方向ベクトルの内積が }\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ なので、両直線は直交する。
(3) $PB^2-PA^2=3>0$ より $PA\ne PB$ 。したがって $\triangle PAB$ は辺ABを底辺とする二等辺三角形ではない。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 互いに垂直な3辺に沿って座標をとり、 $O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,2,0),C=(0,0,h)$ とする。 $P=(\alpha,2\beta,0)$ なので、垂直条件は $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CA}=\alpha+h^2=0,\qquad\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CB}=4\beta+h^2=0.$ 従って $\boxed{\alpha=-h^2,\ \beta=-h^2/4}$ 。

(2) $\overrightarrow{OP}=(-h^2,-h^2/2,0)$ と $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$ の内積は $h^2-h^2=0$ 。 $h>0$ より両方向ベクトルは零でなく、同一平面内の両直線は直交する。

(3) 距離を二乗して比較すると $\displaystyle PA^2=(h^2+1)^2+\frac{h^4}{4}=\frac54h^4+2h^2+1,$ $\displaystyle PB^2=h^4+\left(\frac{h^2}{2}+2\right)^2=\frac54h^4+2h^2+4.$ よって $PB^2-PA^2=3>0$ であり、 $PA\ne PB$ 。したがって $AB$ を底辺とする二等辺三角形ではない。

この問題で使う考え方

座標設定
内積による垂直条件
距離の平方の比較

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