1神戸大学 2013年 数学 第1問解答・解説

$\ell$ は $A(0,1,0),B(-1,0,0)$ を通り、方向ベクトルは $(1,1,0)$ だから、 $$\ell:\ (x,y,z)=(t,t+1,0)\quad(t\text{ は実数})$$ と表せる。

(1) $P=(t,t+1,0), Q=(0,0,q)$ とおくと、 $$\overrightarrow{PQ}=(-t,-t-1,q)=k(3,1,-1)$$ を満たす実数 $k$ がある。第1、第2成分から $-t=3k,\ -t-1=k$ なので、差をとると $$-1=(-t-1)-(-t)=k-3k=-2k$$ となり、$\displaystyle k=\frac12,\ t=-\frac32,\ q=-k=-\frac12$ を得る。よって $$\displaystyle P\left(-\frac32,-\frac12,0\right),\qquad Q\left(0,0,-\frac12\right).$$

(2) $R=(t,t+1,0), S=(0,0,s)$ とおくと、$\overrightarrow{RS}=(-t,-t-1,s)$、$\overrightarrow{AB}=(-1,-1,0)$ である。垂直条件より $$(-t,-t-1,s)\cdot(-1,-1,0)=2t+1=0,\qquad (-t,-t-1,s)\cdot(0,0,1)=s=0.$$ したがって $\displaystyle t=-\frac12,\ s=0$ となり、 $$\displaystyle R\left(-\frac12,\frac12,0\right),\qquad S(0,0,0).$$

(3) このとき $\displaystyle \overrightarrow{RS}=\left(\frac12,-\frac12,0\right)$ だから、 $$\displaystyle \vec v\cdot\overrightarrow{RS}=\frac{a-b}{2}.$$ 仮定より $\vec v$ は $\overrightarrow{RS}$ に垂直でないので $a-b\ne0$ である。$T=(t,t+1,0), U=(0,0,u)$ とおく。 $\overrightarrow{TU}\parallel\vec v$ より、ある実数 $k$ に対し $$(-t,-t-1,u)=k(a,b,c).$$ 第2成分から第1成分を引くと $-1=k(b-a)$ となるので $\displaystyle k=\frac1{a-b}$。よって $$\displaystyle t=-\frac{a}{a-b},\qquad t+1=-\frac{b}{a-b},\qquad u=\frac{c}{a-b}.$$ したがって $$\displaystyle T\left(-\frac{a}{a-b},-\frac{b}{a-b},0\right),\qquad U\left(0,0,\frac{c}{a-b}\right).$$

ℓを媒介変数で表し、PQ・RS・TUの方向条件を成分比較または内積条件に置き換える。(3)では分母a−bがゼロでないことを原文の「vはRSに垂直ではない」から確認してから解く。