3鹿児島大学 2024年 数学 第3問解答・解説

3-1　 (1) 方程式①の左辺を$f_c(x)$とおく。判別式は $$\Delta=4(c+1)^2-4(c^2-2c+9)=16(c-2)>0$$ であるから、異なる2つの実数解をもつ。また $$f_c(c)=c^2-2(c+1)c+c^2-2c+9=9-4c<0$$ である。$f_c(x)$は上に開く2次式なので、$f_c(c)<0$より$c$は2解の間にある。したがって一方は$c$より小さく、他方は$c$より大きい。

(2) $n\ge2$のとき、$a_n$は$c=a_{n-1}$の場合の方程式の解だから $$a_n^2-2(a_{n-1}+1)a_n+a_{n-1}^2-2a_{n-1}+9=0.$$ 左辺は $$a_{n-1}^2-2(a_n+1)a_{n-1}+a_n^2-2a_n+9$$ とも書ける。よって$x=a_{n-1}$は$c=a_n$の場合の方程式②の解である。すでに$a_{n-1}<a_n$であり、(1)より$c=a_n$の場合の2解は$a_n$をはさんでいるから、$a_{n-1}$は小さい方の解である。

(3) 方程式②の2解は$a_{n-1},a_{n+1}$である。解と係数の関係より $$a_{n-1}+a_{n+1}=2(a_n+1),$$ したがって$a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}+2$を得る。

(4) $a_1=3$のとき方程式①は$x^2-8x+12=0$で、その解は$2,6$であるから$a_2=6$、よって$b_1=3$である。(3)より$n\ge2$について $$b_n=a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}+2=b_{n-1}+2.$$ したがって$b_n=3+2(n-1)=2n+1$。さらに $$\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k=3+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(2k+1)=3+(n-1)n+(n-1)=n^2+2.$$

3-2　 (1) $\overrightarrow{AB}=(1,-2,1)$、$\overrightarrow{CD}=(1,1,-2)$である。内積は$-3$、各ベクトルの大きさは$\sqrt6$だから、なす角を$\theta$とすると $$\displaystyle \cos\theta=\frac{-3}{\sqrt6\sqrt6}=-\frac12.$$ $0^\circ$から$180^\circ$の範囲で$\theta=120^\circ$である。

(2) 直線$l,m$をそれぞれ $$(2+t,-2t,4+t),\qquad(3+s,2+s,2-2s)$$ と表す。交点があるなら、最初の2成分から$t-s=1$、$-2t=2+s$となり、$\displaystyle s=-\frac43,\ t=-\frac13$でなければならない。このとき第3成分は$l$上で$\displaystyle 4+t=\frac{11}3$、$m$上で$\displaystyle 2-2s=\frac{14}3$となり一致しない。よって交わらない。

(3) 直線 $l$ 上の点を $P=(2+t,-2t,4+t)$、直線 $m$ 上の点を $Q=(3+s,2+s,2-2s)$ とおく。$PQ$が両直線に垂直となる条件は $$(Q-P)\cdot(1,-2,1)=-5-3s-6t=0,\qquad (Q-P)\cdot(1,1,-2)=7+6s+3t=0.$$ これを解くと$\displaystyle t=-\frac13,\ s=-1$である。したがって $$\displaystyle P=\left(\frac53,\frac23,\frac{11}3\right),\qquad Q=(2,1,4).$$ 実際、$\displaystyle Q-P=(\frac13,\frac13,\frac13)$は$(1,-2,1)$および$(1,1,-2)$の両方に垂直である。求める直線は$P$を通り方向ベクトル$(1,1,1)$をもつ直線であり、交点は上の$P,Q$である。

3-3　 全カードは$m+2$枚なので、2枚の選び方は$\displaystyle \binom{m+2}{2}$通りである。

(1) $m=2$では$0$以上の数が書かれたカードは3枚ある。したがって $$\displaystyle P(X\ge0)=\frac{\binom32}{\binom42}=\frac12.$$

(2) $m=9$では全体は$\displaystyle \binom{11}{2}=55$通り。$Y=1$とならないのは、$-1,0$のカード2枚をともに選ぶ1通りだけだから $$\displaystyle P(Y=1)=1-\frac1{55}=\frac{54}{55}.$$

(3) 積が$1$となるのは1のカード2枚を選ぶ場合で$\displaystyle \binom m2$通り、積が$-1$となるのは$-1$のカードと1のカードを選ぶ場合で$m$通りである。他の場合の積は$0$である。よって $$\displaystyle E(XY)=\frac{\binom m2-m}{\binom{m+2}{2}}=\frac{m(m-3)}{(m+1)(m+2)}.$$ 分母は正であり、$m$は自然数だから、これが正となるのは$m>3$のときである。最小のものは$m=4$。

3-1では判別式と軸方向の符号から根がcを挟むことを示し、連続する項が次の二次方程式の小さい根であることを確かめて漸化式を得る。3-2はベクトルの内積と直線の媒介変数で角度・交差・共通垂線を検算した。3-3は物理カードの組を等確率な組合せとして数え、各値の積の頻度から確率と期待値を得る。