2鹿児島大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) 三角関数の合成により $$\displaystyle x=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right).$$ ここで $0\le\theta<2\pi$ なので、$\displaystyle \theta-\frac{\pi}{4}$ は $\displaystyle -\frac{\pi}{4}\le\theta-\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4}$ を動く。この範囲で正弦の値は $-1$ から $1$ までをとり、両端の値も実現する。したがって $-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}$。

(2) $s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおくと、$s-c=x$ であり、 $$x^2=(s-c)^2=s^2+c^2-2sc=1-2sc$$ より $\displaystyle sc=\frac{1-x^2}{2}$。また、 $$s^3-c^3=(s-c)(s^2+sc+c^2)=x(1+sc)$$ であるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} y&=4x(1+sc)+3\sqrt{2}sc\\ &=4x+2x(1-x^2)+\frac{3\sqrt{2}}{2}(1-x^2)\\ &=-2x^3-\frac{3\sqrt{2}}{2}x^2+6x+\frac{3\sqrt{2}}{2} \quad(-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}). \end{aligned}$$

(3) $\displaystyle f(x)=-2x^3-\frac{3\sqrt{2}}{2}x^2+6x+\frac{3\sqrt{2}}{2}$ とおくと、 $$f'(x)=-6x^2-3\sqrt{2}x+6=-3(2x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).$$ 定義域 $-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}$ では、$\displaystyle -\sqrt{2}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ で $f'(x)>0$、$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}<x\le\sqrt{2}$ で $f'(x)<0$ となる。よって最大値は $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときにとる。 $$\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{13\sqrt{2}}{4},\quad f(-\sqrt{2})=-\frac{7\sqrt{2}}{2},\quad f(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ したがって最小値は $x=-\sqrt{2}$ のときの $\displaystyle -\frac{7\sqrt{2}}{2}$ である。

最大値をとるときは $$\displaystyle \sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$$ $0\le\theta<2\pi$ の範囲では $\displaystyle \theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$ であるから、$\displaystyle \theta=\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}$。また最小値をとるときは $$\displaystyle \sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$ より $\displaystyle \theta-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}$、すなわち $\displaystyle \theta=\frac{7\pi}{4}$。